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5 歯車の歯厚

5.3 オーバピン(玉)法

下記計算は、歯車計算ソフト GCSW for Webで簡単に計算できます。→こちら

平及びはすば歯車を測定する場合は図5.6のように、偶数歯であれば相対する歯溝、奇数歯であれば180/z ( ° )だけかたよった歯溝にピン又は玉を入れてその外側寸法を測定します。
内歯車の場合はその内側寸法を測りますから、ヴィトイーンピン(玉)法ともいいます。
はすば歯車の測定には2個のピン(玉)を使用します。
ラックを測定する場合は図5.8のように、歯溝にピン又は玉を入れてマイクロメータにより基準面からの距離を測定します。使用するピン(玉)は1個です。
ウォームを測定する場合は図5.10のように、3本のピンを歯溝に入れてその外側寸法を測定します。
これは三針法というもので、ねじの精密測定に使われる方法です。



図5.6 平歯車のオーバピン(玉)法
khk

(1)平歯車
オーバピン(玉)法においてピン(玉)は、標準歯車の基準円上で、転位歯車のd +2xm 円上で歯車と接するのが理想です。
図5.7のような平歯車において、上記の円上で接するピン(玉)の直径を求める方法を表5.13に示します。

図5.7 平歯車のオーバピン寸法
表5.13 平歯車に接するピン(玉)の直径
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 歯溝の半角 η
m = 1
α = 20°
z = 20
x = 0
η = 0.0636354
α' = 20°
φ = 0.4276057
d 'p = 1.7245
2 ピン(玉)と歯面との
接点における圧力角
α'
3 ピン(玉)の中心を通る圧力角 φ tanα'+η
4 理想的なピン(玉)の直径 d 'p zm cosα(invφ+η)
注. 角度η、φの単位はラジアンです。
ここで計算されたピン(玉)の直径は理想的なものですが、これは特別に製作しなければ、入手できません。
この場合は、計算されたピン(玉)の直径に近い市販されている高精度なピン(玉)を使用してオーバピン(玉)寸法を測定するのが現実的です。
ピンの直径が決まったならば、次に表5.14によりオーバピン(玉)寸法を計算します。
表5.14 平歯車のオーバピン(玉)寸法
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 ピン(玉)の直径 d p 注1
d p = 1.7として
invφ = 0.0268197
φ = 24.1350°
M = 22.2941
2 インボリュートφ invφ
3 ピン(玉)の中心を通る圧力角 φ インボリュート関数表から求める。
4 オーバピン(玉)寸法 M 偶数歯
奇数歯
注1. 表5.13にて求めた理想的なピン(玉)の直径か又はそれに近い直径のものを使用する。
表5.15にはモジュールm =1、基準圧力角α=20°の平歯車においてd +2xm 円上で平歯車に接するピンの直径の計算値を示します。
表5.15 d +2xm 円上で平歯車に接するピンの直径
(m =1、α=20°)
歯数
z
転 位 係 数 x
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
10
20
30
40
50

60
70
80
90
100

110
120
130
140
150

160
170
180
190
200

1.6231
1.6418
1.6500
1.6547

1.6577
1.6598
1.6613
1.6625
1.6635

1.6642
1.6649
1.6654
1.6659
1.6663

1.6666
1.6669
1.6672
1.6674
1.6676
1.6347
1.6599
1.6649
1.6669
1.6680

1.6687
1.6692
1.6695
1.6698
1.6700

1.6701
1.6703
1.6704
1.6705
1.6706

1.6706
1.6707
1.6707
1.6708
1.6708
1.7886
1.7244
1.7057
1.6967
1.6915

1.6881
1.6857
1.6839
1.6825
1.6814

1.6805
1.6797
1.6791
1.6785
1.6781

1.6777
1.6773
1.6770
1.6767
1.6764
1.9979
1.8149
1.7632
1.7389
1.7247

1.7155
1.7090
1.7042
1.7005
1.6975

1.6951
1.6931
1.6914
1.6900
1.6887

1.6876
1.6867
1.6858
1.6851
1.6844
2.2687
1.9306
1.8369
1.7930
1.7675

1.7509
1.7391
1.7304
1.7237
1.7184

1.7140
1.7104
1.7074
1.7048
1.7025

1.7006
1.6988
1.6973
1.6959
1.6947
2.6079
2.0718
1.9267
1.8589
1.8196

1.7940
1.7759
1.7625
1.7521
1.7439

1.7372
1.7316
1.7269
1.7229
1.7194

1.7164
1.7137
1.7114
1.7093
1.7074
3.0248
2.2389
2.0324
1.9365
1.8810

1.8448
1.8193
1.8003
1.7857
1.7740

1.7645
1.7567
1.7500
1.7443
1.7394

1.7351
1.7314
1.7280
1.7250
1.7223
3.5315
2.4329
2.1542
2.0257
1.9515

1.9032
1.8691
1.8438
1.8242
1.8087

1.7960
1.7855
1.7766
1.7690
1.7625

1.7567
1.7517
1.7472
1.7432
1.7396


(2)ラックとはすばラック
ラックにおいても、ピン(玉)は基準ピッチ線上でラックと接するのが理想的です。
ラックのオーバピン寸法の計算を表5.16A及びBに示します。はすばラックの場合は、表5.16Aのモジュールm を歯直角モジュールmn に、基準圧力角αを歯直角圧力角αn に置き換えて計算します。
図5.8 ラックのオーバピン寸法
表5.16A ラックのオーバピン(玉)寸法
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 理想的なピン(玉)の直径 d 'p
m = 1      
α = 20      
s = 1.5708      
d p' = 1.6716
d p = 1.7とする      
H = 14.0000      
M = 15.1774      
2 オーバピン(玉)寸法 M
表5.16B はすばラックのオーバピン(玉)寸法
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 理想的なピン(玉)の直径 d 'p
mn = 1   
αn = 20° β = 15°
s = 1.5708   
理想的なピンの直径d p' = 1.6716
d p = 1.7とする   
H = 14.0000   
M = 15.1774   
2 オーバピン(玉)寸法 M


(3)内歯車
図5.9のように、内歯車の場合も、ピン(玉)はd +2xm 円上で内歯車に接するのが理想です。
表5.17には理想的なピン(玉)の直径を求める方法を、表5.18には内歯車のビィトイーンピン(玉)寸法の計算を示します。

図5.9 内歯車のビィトイーンピン(玉)寸法
表5.17 ピン(玉)の直径
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 歯溝の半角 η
m = 1
α = 20°
z = 40
x = 0
η = 0.054174
α' = 20°
φ = 0.309796
d 'p = 1.6489
2 ピン(玉)と歯面との
接点における圧力角
α'
3 ピン(玉)の中心を通る圧力角 φ tanα'-η
4 理想的なピン(玉)の直径 d 'p zm cosα(η-invφ)
注. 角度η、φの単位はラジアンです。
表5.18 内歯車のビィトイーンピン(玉)寸法
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 ピン(玉)の直径 d p 注1
d p = 1.7とする
invφ = 0.0089467
φ = 16.9521°
M = 37.5951
2 インボリュートφ invφ
3 ピン(玉)の中心を通る圧力角 φ インボリュート関数表から求める。
4 ビィトイーンピン(玉)寸法 M 偶数歯
奇数歯
注1. 表5.17にて求めた理想的なピン(玉)の直径か又はそれに近い直径のものを使用する。
表5.19にはモジュールm =1、基準圧力角α=20°の内歯車においてd +2xm 円上で内歯車に接するピンの直径の計算値を示します。
表5.19 d +2xm 円上で内歯車に接するピンの直径
(m =1、α=20°)
歯数
z
転 位 係 数 x
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
10
20
30
40
50

60
70
80
90
100

110
120
130
140
150

160
170
180
190
200

1.4687
1.5309
1.5640
1.5845

1.5985
1.6086
1.6162
1.6222
1.6270

1.6310
1.6343
1.6371
1.6395
1.6416

1.6435
1.6451
1.6466
1.6479
1.6490
1.4789
1.5604
1.5942
1.6123
1.6236

1.6312
1.6368
1.6410
1.6443
1.6470

1.6492
1.6510
1.6525
1.6539
1.6550

1.6561
1.6570
1.6578
1.6585
1.6591
1.5936
1.6284
1.6418
1.6489
1.6532

1.6562
1.6583
1.6600
1.6612
1.6622

1.6631
1.6638
1.6644
1.6649
1.6653

1.6657
1.6661
1.6664
1.6666
1.6669
1.6758
1.6759
1.6751
1.6745
1.6740

1.6737
1.6734
1.6732
1.6731
1.6729

1.6728
1.6727
1.6727
1.6726
1.6725

1.6725
1.6724
1.6724
1.6723
1.6723
1.7283
1.7047
1.6949
1.6895
1.6862

1.6839
1.6822
1.6810
1.6800
1.6792

1.6785
1.6779
1.6775
1.6771
1.6767

1.6764
1.6761
1.6759
1.6757
1.6755
1.7519
1.7154
1.7016
1.6944
1.6900

1.6870
1.6849
1.6833
1.6820
1.6810

1.6801
1.6794
1.6788
1.6783
1.6779

1.6775
1.6771
1.6768
1.6766
1.6763
1.7460
1.7084
1.6956
1.6893
1.6856

1.6832
1.6815
1.6802
1.6792
1.6784

1.6778
1.6772
1.6768
1.6764
1.6761

1.6758
1.6755
1.6753
1.6751
1.6749
1.7092
1.6837
1.6771
1.6744
1.6732

1.6725
1.6721
1.6718
1.6717
1.6715

1.6715
1.6714
1.6714
1.6714
1.6713

1.6713
1.6713
1.6713
1.6713
1.6713


(4)はすば歯車
はすば歯車において歯車の d + 2xnmn 円上で歯車に接するような理想的な玉(ピン)の直径は、平歯車の式の歯数z を相当平歯車数zv に置き換えることにより近似的に計算できます。
表5.20には歯直角方式はすば歯車の玉(ピン)の直径の計算を、表5.21にはオーバ玉(ピン)寸法の計算を示します。
表5.20 歯直角方式はすば歯車の玉(ピン)の直径
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 相当平歯車歯数 z v
m n = 1
αn = 20°
z = 20
β = 15°00'00"
x n = +0.4
z v = 22.19211
ηv = 0.0427566
α'v = 24.90647°
φv = 0.507078
d 'p = 1.9020
2 歯溝の半角 ηv
3 玉(ピン)と歯面との
接点における圧力角
α'v
4 玉(ピン)の中心を通る圧力角 φv tanα'vv
5 理想的な玉(ピン)の直径 d 'p zvmn cosαn (invφvv)
注. 角度ηv、φvの単位はラジアンです。
表5.21 歯直角方式はすば歯車のオーバ玉(ピン)の寸法
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 玉(ピン)の直径 d p 注1
d p = 2とする
αt = 20.646896°
invφ = 0.058890
φ = 30.8534°
M = 24.5696
2 インボリュートφ invφ
3 玉(ピン)の中心を通る圧力角 φ インボリュート関数表から求める。
4 オーバ玉(ピン)寸法 M 偶数歯
奇数歯
注1. 表5.20にて求めた理想的な玉(ピン)の直径か又はそれに近い直径のものを使用します。
表5.22には軸直角方式はすば歯車の玉(ピン)の直径の計算を、表5.23にはオーバ玉(ピン)寸法の計算を示します。
表5.22 軸直角方式はすば歯車の玉(ピン)の直径
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 相当平歯車歯数 z v
m t = 3
αt = 20°
z = 36
β = 33°33'26.3"
αn = 16.87300°
x t = +0.2
z v = 62.20800
ηv = 0.014091
α'v = 18.26390
φv = 0.34411
invφv = 0.014258
d 'p = 4.2190
2 歯溝の半角 ηv
3 玉(ピン)と歯面との
接点における圧力角
α'v
4 玉(ピン)の中心を通る圧力角 φv tanα'+ηv
5 理想的な玉(ピン)の直径 d 'p zvmt cosβcosαn (invφ+ηv)
注. 角度ηv、φvの単位はラジアンです。
表5.23 軸直角方式はすば歯車のオーバ玉(ピン)寸法
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 玉(ピン)の直径 d p 注1
d p = 4.5
invφ = 0.027564
φ = 24.3453°
M = 115.892
2 インボリュートφ invφ
3 玉の中心を通る圧力角 φ インボリュート関数表から求める。
4 オーバ玉(ピン)寸法 M 偶数歯
奇数歯
注1. 表5.22にて求めた理想的な玉(ピン)の直径か又はそれに近い直径のものを使用します。


(5)ウォームの三針法
ウォームの歯形として広く使用されている3形の歯形は工具圧力角α0 = 20°を基準としていますが、この工具で切削されるウォームの歯直角圧力角αn は20°より小さくなります。その歯直角圧力角αn を求めるAGMAの近似式を示します。

(5.7)

ここに r  : ウォームの基準円直径
  r 0  : 工具の半径
  z 1  : ウォームの条数
  γ  : ウォームの基準円筒進み角
この3形歯形の三針寸法に関する資料は乏しいのですが、ここではいくつかの近似的な計算方法を紹介します。


図5.10 ウォームの三針法
(a)ウォームをラックのような直線歯形として計算する方法
ウォームの歯形を直線歯形として近似的に考えれば、ラックと同様に表5.24のような方法にて計算することができます。
表5.24 ウォームの三針寸法の計算(a)-1
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 理想的なピン(玉)の直径 d 'p
m x = 2    αn = 20°
z 1 = 1    d 1 = 31
r = 3.691386°
αx = 20.03827°
d 'p = 3.3440
d p = 3.3とする
M = 35.3173
2 三針寸法 M
しかし、この方法はウォームの進み角を小さいとして無視していますから、進み角が大きくなると誤差が大きくなります。その進み角を考慮したのが次に示す表5.25の方法です。
表5.25 ウォームの三針寸法の計算(a)-2
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 理想的なピン(玉)の直径 d 'p
m x = 2    αn = 20°
z 1 = 1    d 1 = 31
r = 3.691386°
m n = 1.99585
d 'p = 3.3363
d p = 3.3とする
M = 35.3344
2 三針寸法 M

(b)はすば歯車の式を近似的に代用する方法
この方法は、はすば歯車のオーバピン(玉)寸法を計算する式をウォームの三針寸法の計算に代用するものです。
3形のウォームはインボリュート歯形ではないので、この方法はあくまでも近似的なものですが、実用上はこれで充分です。
表5.26、5.27は軸方向モジュール方式ウォームの計算を、表5.28、5.29には歯直角方式ウォームの計算を示します。
表5.26 軸方向モジュール方式ウォームのピン(玉)の直径
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 相当平歯車歯数 z v
m x = 2
αn = 20°
z 1 = 1
d 1 = 31
γ = 3.691386°
z v = 3747.1491
ηv = -0.014485
α'v = 20°
φv = 0.349485
invφv = 0.014960
d 'p = 3.3382
2 歯溝の半角 ηv
3 ピン(玉)と歯面との
接点における圧力角
α'v
4 ピン(玉)の中心を通る圧力角 φv tanα'+ηv
5 理想的なピン(玉)の直径 d 'p zvmx cosr cosαn (invφ+ηv)
注. 角度ηv、φvの単位はラジアンです。
表5.27 軸方向モジュール方式ウォームの三針寸法
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 ピン(玉)の直径 d p 注1
d p = 3.3とする
αt = 76.96878°
invαt = 4.257549
invφ = 4.446297
φ = 80.2959°
M = 35.3345
2 インボリュートφ invφ
3 ピン(玉)の中心を通る圧力角 φ インボリュート関数表から求める。
4 三針寸法 M
注1. 表5.26にて求めた理想的な玉(ピン)の直径か又はそれに近い直径のものを使用する。
注2. ここで  です。

次に歯直角モジュール方式のウォームの計算を示します。
基本的には軸方向モジュール方式でも歯直角モジュール方式でも計算式は同じものでいいのですが、基準となるモジュールを使えるように計算式を変形しています。
表5.28 歯直角方式ウォームのピン(玉)の直径
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 相当平歯車歯数 z v
m n = 2.5
αn = 20°
z 1 = 1
d 1 = 37
γ = 3.874288°
z v = 3241.792
ηv = -0.014420
α'v = 20°
φv = 0.349550
invφv = 0.0149687
d 'p = 4.1785
2 歯溝の半角 ηv
3 ピン(玉)と歯面との
接点における圧力角
α'v
4 ピン(玉)の中心を通る圧力角 φv tanα'+η
5 理想的なピン(玉)の直径 d 'p zvmn cosαn (invφ+η)
注. 角度ηv、φvの単位はラジアンです。
表5.29 歯直角方式ウォームの三針寸法
番号 計算項目 記号 計算式 計算例
1 ピン(玉)の直径 d p 注1
d p = 4.2とする
αt = 79.48331°
invαt = 3.999514
invφ = 4.216536
φ = 79,8947°
M = 42,6897
2 インボリュートφ invφ
3 ピン(玉)の中心を通る圧力角 φ インボリュート関数表から求める。
4 三針寸法 M
注1. 表5.28にて求めた理想的なピン(玉)の直径か又はそれに近い直径のものを使用する。
注2. 

 

こちらの技術資料は冊子カタログ3013(2015年)当時のデータであり、一部データが古い場合があります。最新情報は最新カタログでご確認下さいますよう、お願いいたします。

 

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